别再发愁MPAcc联考中的数列类难题

　　一、等差数列

　　一个等差数列由两个因素确定：首项a1和公差d。

　　得知以下任何一项，就可以确定一个等差数列(即求出数列的通项公式)：

　　1、首项a1和公差d

　　2、数列前n项和s(n)，因为s(1)=a1，s(n)-s(n-1)=a(n)

　　3、任意两项a(n)和a(m)，n，m为已知数

　　等差数列的性质：

　　1、前N项和为N的二次函数(d不为0时)

　　2、a(m)-a(n)=(m-n)*d

　　3、正整数m、n、p为等差数列时，a(m)、a(n)、a(p)也是等差数列

　　例题1：已知a(5)=8，a(9)=16，求a(25)

　　解： a(9)-a(5)=4*d=16-8=8

　　a(25)-a(5)=20*d=5*4*d=40

　　a(25)=48

　　例题2：已知a(6)=13，a(9)=19，求a(12)

　　解：a(6)、a(9)、a(12)成等差数列

　　a(12)-a(9)=a(9)-a(6)

　　a(12)=2*a(9)-a(6)=25
 

　　二、等比数列

　　一个等比数列由两个因素确定：首项a1和公差d。

　　得知以下任何一项，就可以确定一个等比数列(即求出数列的通项公式)：

　　1、首项a1和公比r

　　2、数列前n项和s(n)，因为s(1)=a1，s(n)-s(n-1)=a(n)

　　3、任意两项a(n)和a(m)，n，m为已知数

　　等比数列的性质：

　　1、a(m)/a(n)=r^(m-n)

　　2、正整数m、n、p为等差数列时，a(m)、a(n)、a(p)是等比数列

　　3、等比数列的连续m项和也是等比数列

　　即b(n)=a(n)+a(n+1)+。。。+a(n+m-1)构成的数列是等比数列。
 

　　三、数列的前N项和与逐项差

　　1、如果数列的通项公式是关于N的多项式，最高次数为P，则数列的前N项和是关于N的多项式，最高次数为P+1。(这与积分很相似)

　　2、逐项差就是数列相邻两项的差组成的数列。

　　如果数列的通项公式是关于N的多项式，最高次数为P，则数列的逐项差的通项公式是关于N的多项式，最高次数为P-1。

　　(这与微分很相似)

　　例子：

　　1，16，81，256，625，1296 (a(n)=n^4)

　　15，65，175，369，671

　　50，110，194，302

　　60，84，108

　　24，24

　　从上例看出，四次数列经过四次逐项差后变成常数数列。

　　等比数列的逐项差还是等比数列
 

　　四、已知数列通项公式A(N)，求数列的前N项和S(N)。

　　这个问题等价于求S(N)的通项公式，而S(N)=S(N-1)+A(N)，这就成为递推数列的问题。

　　解法是寻找一个数列B(N)，

　　使S(N)+B(N)=S(N-1)+B(N-1)

　　从而S(N)=A(1)+B(1)-B(N)

　　猜想B(N)的方法：把A(N)当作函数求积分，对得出的函数形式设待定系数，利用B(N)-B(N-1)=-A(N)求出待定系数。
 

　　例题1：求S(N)=2+2*2^2+3*2^3+。。。+N*2^N

　　解：S(N)

　　=S(N-1)+N*2^N

　　N*2^N积分得(N*LN2-1)*2^N/(LN2)^2

　　因此设B(N)=(PN+Q)*2^N

　　则 (PN+Q)*2^N-[P(N-1)+Q)*2^(N-1)=-N*2^N

　　(P*N+P+Q)/2*2^N=-N*2^N

　　因为上式是恒等式，所以P=-2，Q=2

　　B(N)=(-2N+2)*2^N

　　A(1)=2，B(1)=0

　　因此：S(N)=A(1)+B(1)-B(N)=(2N-2)*2^N+2
 

　　例题2：A(N)=N*(N+1)*(N+2)，求S(N)

　　解法1：S(N)为N的四次多项式，

　　设：S(N)=A*N^4+B*N^3+C*N^2+D*N+E

　　利用S(N)-S(N-1)=N*(N+1)*(N+2)

　　解出A、B、C、D、E

　　解法2：

　　S(N)/3!=C(3，3)+C(4，3)+。。。C(N+2，3)=C(N+3，4)

　　S(N)=N*(N+1)*(N+2)*(N+3)/4