研线小课堂 | 碰上这类题就害怕？老夫分分钟破它！

人生一世，谁都不是顺顺利利的，谁都会有犯错的时候，犯错是我们生命中必不可少的一部分。既然谁都会犯错，那人和人的区别就是对待错误的态度。有些人是立马寻找原因，改正错误。有些人是任由错误放在哪里，也不去解决，也不去寻找原因，吸收教训。对于前一种人来说，犯的错误反而成为下一步成功的基础。对于后一种人来说，往后的日子里，还会继续犯同类错误，还会在同一个地方摔倒多次。

人生有三种跌倒：乌龟式跌倒，不倒翁式跌倒，和朝圣者式跌倒。乌龟式的跌倒就是一旦跌倒，就不再翻身，只是仰躺着眼瞪天空，等待外力来帮扶一把；

不倒翁式的跌倒就是总是不停地跌倒而且常常是在同一个地方，但每次都不屈地爬起，然后换个方向，继续开始下一轮的跌倒和爬起；而朝圣者式的跌倒，因为心里有个坚定的目标，比如去冈波仁齐峰朝圣，所以虽然跌倒了，但每次跌倒的地方也都更接近目标。

愿我们每个人都能做朝圣者，让每一次跌倒，都能让我们更接近目标。

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应用题中，我们经常会列出一个方程，方程里面是一个未知数，然后我们就能解出未知数的值。或者列出一个方程组，两个未知数对应两个方程，三个未知数对应三个方程，然后通过消元法，就能解出每一个未知数。这是我们常规的做应用题的方法。

但是还有一类题，其未知数的个数多于方程的个数。这类问题，我们一般称之为不定方程（组），不定方程（组）一般有无数组解，但题意往往要求我们求出其中的特殊解（一般为整数解）。对于这类题，常规的解法就失去了作用，那怎么解决呢？我们常常利用整除、奇数偶数、范围等特征来确定最后的答案。

先来一道题试试：

在年底的献爱心活动中，某单位共有100人参加捐款。经统计，捐款总额是19000元，个人捐款数额有100元、500元和2000元三种。该单位捐款500元的人数为（）

A,13     B,18     C,25     D,30     E,38

我们的常规解法是设未知数，然后列出方程：设捐款100元、500元和2000元的人数分别为x,y,z，则有下列方程：

化简后：

很明显，两个方程，三个未知数，你要让我通过消元法解出方程，我只能说：臣妾做不到啊！那怎么办？走一步是一步，我先消掉一个未知数再说，两个式子上下相减，得：

然后这个方程要想解出答案，是不太现实的，它有无数组解。可我们设的都是人数，人数肯定是正整数，那就好办多了，我们一个个试也能试出来。我们分别让z取1，2，3，4，5（为啥是这五个数呢，因为z再大点，y就得是负数啦），这里还有一个技巧，因为4y和90都是偶数，所以19z也得是偶数，所以z是偶数，所以z取值就为2，4。通过验证，可得在z为2，y为13时，为唯一的整数解组合。然后我们再代入求出x的值即可。

这是利用整数的一些性质来解决这类不定方程的一个案例，大家仔细琢磨琢磨哈！

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上面是两个方程，三个未知数让我们求解的，就已经够我们头疼的了，还有更狠的呢！一个方程，三个未知数！不过，我们同样能解，但是，得借助不等式的一些性质。

下面看题：

在某次考试中，甲、乙、丙三个班得平均成绩为80，81，81.5，三个班得学生分数之和为6952，三个班共有学生（）

A,85     B,86     C,87     D,88     E,90

还是我们的常规思路，先设甲、乙、丙三个班的学生人数分别为x、y、z。那根据题意，我们列出方程：

这，这，这，这让我，猎人抓刺猬，无处下手啊！那这类题如何做呢？这类题没有上面那道题的数字那么小，不适合用穷举法解决。那这时，我们就要利用不等式的一些性质，把要求解的东西的值给限制到一定的范围，然后再计算。我们把式子变化一下。

因为我们要求解的是x+y+z的值嘛，所以可以通过这个变化，给x+y+z计算出一个范围，这个式子计算一下就是：

到这一步了，你还会说不知道答案是啥么？

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不定方程在我们的考试中出现的很少，但也差不多过几年就有一个，这类题的特点就是看着很吓人，不知道怎么才能解出答案。但解题方法很容易掌握，说破了就简单了。

下面我们看一种不定方程的另一种题型。

某单位年终共发了100万元奖金，奖金金额分别是一等奖1.5万元、二等奖1万元、三等奖0.5万元。则该单位至少有100人。

（1）得二等奖的人数最多。

（2）得三等奖的人数最多。

这是一道条件充分性判断题，是看哪个条件能推算出来该单位至少有100人。上面的两道题，都是最终求解出一个整数的解。而这道题求的是一个范围，怎么做呢，我们来做做看。

首先设领1.5万元，1万元，0.5万元的人数分别是x、y、z，（年终奖够丰厚得呀，老板，看这里，这里，我也要!）根据题意有：

这个是题目中给的已知条件，最终就是看条件（1）和条件（2）哪个能推出来x+y+z≥100。我们来看条件（1），得二等奖的人最多。条件（2），得三等奖的人数最多。不管得二等奖和三等奖的人数是什么情况，我们的当务之急就是建立上面的式子和x+y+z的关系，因为我们的目的就是x+y+z。那我们把上面的式子给变化一些，硬凑出一个x+y+z。

现在x+y+z凑出来了，而且尾巴上还带了个100，好像和100有些关系了。既然要求最少100人，那么只要(z-x)≥0不就可以了吗？即z≥x就可以了。我们看条件（1），只提到了y最大，和我们的推论没关系，也推不出z≥x。条件（2）中，z最大，那z≥x是肯定成立的，因此这道题条件（1）不充分，条件（2）充分。选B。

好了，不定方程的内容，我们就讲到这里了，希望下期还能在这里遇见你，我们一起进步、一起成长，迎接考试，迎接金榜题名的那一天！